DIAGRAMA DE BIFURCACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGÍSTICA

EJEMPLO

Familia de curvas logística o cuadrática.

f[c_,x_]:=c*x*(1-x)

Plot[Evaluate[Table[f[c,x],{c,0,4}]],{x,0,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

Comenzamos con un punto x entre 0 y 1, y calculamos  f[c,x]. Como f[c,x] sigue estando entre 0 y 1, tiene sentido escribir f[c,f[c,x]], y así sucesivamente. Este proceso es conocido con el nombre de iteración y podemos realizarlo con el programa Mathematica utilizando la orden  NestList. Empezamos fijando para c el valor de 3 y calculamos las 20 primeras iteraciones del punto 0.5.

g[x_]:=f[3,x]

NestList[g,.5,20]

Resultado: Como puede observarse, los valores obtenidos son periódicos de orden 2.

Supongamos ahora que el valor de c es 3.5

g[x_]:=f[3.5,x]

NestList[g,.5,20]

Ahora los valores se repiten cada 4 veces.  Si aumentamos el valor de c, podríamos ver que se repiten cada 8, 16, 32, ... veces. Este prodeso donde cada periodo duplica al anterior, culmina hasta llegar a un valor de c que se conoce con el nombre de Punto de  Feigenbaum  (aproximadamente c = 3.5699456718...).

A continuación se repite el proceso anterior, pero variando a su vez el valor del parámetro, que se inicia con c = 0.223.

logistic[n_Integer]:=Module[{f,t,x},f=Compile[{x,t},Evaluate[(3+(t/n)) x (1-x)]];FoldList[f,0.223,Range[n]]]

Null

La celda próxima representa de forma sonora el efecto del barrido del parámetro c. Puede oirse como el periodo del sonido va doblandose hasta llegar al caos.

ListPlay[logistic[8000]]