CICLO DE ORDEN DOS PARA EL MODELO LOGÍSTICO

k:=3.4

f[x_]:=k*x*(1-x)

Cálculo de los 50 primeros términos de la  órbita para el valor inicial (semilla) x0=0.30

iters=NestList[f,0.30,50]

Dibujo de la órbita

gi=ListPlot[Partition[Flatten[Transpose[{iters,iters}]],2,1],PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];

Puntos de intersección de f(x) con la bisectriz del primer cuadrante

fg=Plot[{x,f[x]},{x,0,1},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]},
DisplayFunction->Identity]

Show[fg,gi,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction]

ListPlot[iters,PlotJoined->True, PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

NSolve[f[x]==x,x]

f'[x]/.x->0
f'[x]/.x->0.705882

Los dos puntos son inestables (el valor absoluto de sus derivadas es mayor que 1)

Representación de la función  f compuesta con f, es decir   f(f(x))= 3.3(3.3x(1-x))(1-(3.3x(1-x)))

m[x_]:=k*(k*x(1-x))*(1-(k*x(1-x)))

Puntos de intersección de f(f(x)) con la bisectriz del primer cuadrante

compuesta=Plot[{m[x],x},{x,0,1},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]}]

NSolve[m[x]==x,x]

m'[x]/.{x->0.}
m'[x]/.{x->0.451963}
m'[x]/.{x->0.705882}
m'[x]/.{x->0.842154}

Los puntos 0.4519637 y 0.842154 son estables (su derivada en valor absoluto es menor que uno) 
y el resto inestable