MODELO DE RICKER. PERIODO DE ORDEN CUATRO

PRIMER CASO K=500; r=2.6

Puntos de equilibrio

f[ x_] := x*Exp[2.6*(1-x/500)]

orbita=NestList[f,700,50]

ListPlot[orbita,PlotStyle->PointSize[0.02]]

El modelo tiene un comportamiento periódico de orden cuatro

Diagrama de Cobweb

ruta=ListPlot[Partition[Flatten[Transpose[{orbita,orbita}]],2,1],PlotJoined->True];
funciones=Plot[{x,f[x]},{x,0,1000},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]},DisplayFunction->Identity];

Show[{ruta,funciones},PlotRange->{{0,1000},{0,1000}},AxesOrigin->{0.0,0}]

Cálculo analítico de los puntos periódicos de orden dos

g[x_]=f[f[f[f[x]]]]

Plot[{g[x],x},{x,0,1200}]

Hay ocho puntos periódicos de orden dos

FindRoot[g[x]==x,{x,100}]

FindRoot[g[x]==x,{x,200}]

FindRoot[g[x]==x,{x,400}]

FindRoot[g[x]==x,{x,700}]

FindRoot[g[x]==x,{x,900}]

FindRoot[g[x]==x,{x,1000}]

Estudio de la estabilidad

g'[90.611]

g'[195.42]

g'[500]

g'[761.58]

g'[876.0288]

g'[952.38]

Los puntos de equilibrio estables de g[x] son aquellas donde la derivada en valor absoluto es menor de uno.

g'[x]/.{x->144.794}

DIAGRAMA DE BIFURCACIÓN SONORO DEL MODELO DE RICKER.

ricker[n_Integer]:=Module[{f,t,x},f=Compile[{x,t},Evaluate[x*Exp[(3+t/n)*(1-x/500)]]];
FoldList[f,0.223,Range[n]]]

La celda próxima representa de forma sonora el efecto del barrido del parámetro c. Puede oirse como el periodo del sonido va doblandose hasta llegar al caos.

ListPlay[ricker[8000]]